Контрольная работа: Треугольники. Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Чего только не приходится делать на уроках геометрии! Но нет ничего приятнее, чем сесть и доказать равенство треугольников, используя три признака равенства.

17 декабря 2020

· Обновлено 21 октября 2022

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Контрольная работа: Треугольники. Признаки равенства треугольников

— Развивать умение видеть математические понятия в окружающем нас мире.

— Развитие интереса к предмету.

— Развивать навыки работы за компьютером с учебными программами и умение работать с мультимедийной доской.

— Мотивировать детей к самообразованию через виртуальные путешествия в сети Internet.

— Воспитывать умение работать в группе.

Вступительное слово учителя.

Экскурс по страницам Internet

«В мире треугольников».

Презентация-сопровождение в PowerPoint.

Работа с мультимедийной доской.

Фронтальная, индивидуальная работа.

Проверка знаний по теме «Треугольники».

Интерактивная презентация-тест в PowerPoint.

Работа с мультимедийной доской.

Тесты на результат, тестовые программы в Excel.

Тест-игра, тесты, кроссворд в программе Excel.

Работа в микрогруппах за персональными компьютерами.

1. Вступительное слово учителя.

Сегодня у нас необычный день – День открытых дверей в гимназии.

Необычный урок – урок в новом компьютерном классе, где установлена необычная доска – мультимедийная!

Урок у нас праздничный, т. к. к нам в гости пришли родители. Поэтому мы отступим от обычной схемы урока, в тетрадях решать задачи сегодня не будем, а будем решать задачи за компьютером.

Замечательная геометрическая фигура и самая популярная в школьной программе по геометрии – это треугольник.

Может, вы думаете, что треугольники «поселились» только на страницах учебника по геометрии и больше их нигде не увидеть? Наверное, только школьники старательно изучают и рисуют треугольники?

Где же можно встретить треугольники, кроме математики? Сегодня об этом нам расскажут ваши одноклассники, которые проведут для вас виртуальную экскурсию «В мире треугольников»

Выступление учеников у мультимедийной доски сопровождается презентацией. Подготовлены 4 ученика.

Презентация-сопровождение «В мире треугольников». Хронометраж.

Слайд 14 Слайд 15

Начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника. Для этого используют специальное приспособление.

Расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника.

Правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя. Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб. Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

На первом рисунке «золотой треугольник» охватывает большую площадь магазина.

В литературе и телесериалах обязательно сюжет завязан на любовном треугольнике.

Бермудский треугольник иногда называют еще дьявольским треугольником. Это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы. Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами.

Наибольшую известность Дьявольскому треугольнику принесла история исчезновения американского звена бомбардировщиков-торпедоносцев. Об этом вы можете найти много интересного материала в сети Internet.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник – жесткая фигура.

Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жесткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними.

Теперь возьмем еще одну рейку и скрепим ее концы со свободными концами первых двух реек.

Полученная конструкция – треугольник – уже будет жесткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т.е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, т. к. новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников. Л.С. Атанасян «Геометрия 7–9», стр. 40.

Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций. 19 марта 2007 года Шуховской башне на Шаболовке исполнилось 85 лет.

Треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач.

Треугольники в конструкции железнодорожного моста.

Для составления красивых паркетов использовали треугольники.

Треугольник полярный, треугольник характеристический. Каких только треугольников нет в математике. В глубокой древности вместе с астрономией появилась появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю»

Буквальное значение – «наука об измерении треугольников»

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Треугольник Пенроуза или трибар из коллекции невозможных объектов. Кажется, что мы видим три бруска квадратного сечения соединенных в треугольник. Если вы закроете любой угол этой фигуры, то увидите, что все три бруска соединены правильно. Но когда вы уберете руку с закрытого угла, то станет очевиден обман. Те два бруска, которые соединятся в этом угле, не должны быть даже вблизи друг друга!

Для построения этой фигуры взяли трибар и разбили его на кубы. При этом ничего не изменилось: новая фигура так же совершенно невозможна, как и предшествующая ей!

Треугольник Пенроуза вдохновляет художников и скульпторов.

Много необычных фигур вы можете увидеть на сайте «Невозможные объекты»

2. Сейчас мы с вами поиграем с мультимедийной доской.

Задания на готовых чертежах: доказать равенство треугольников.

Желающие выходят к доске. Детей, родители которых присутствуют на уроке, опросить обязательно.

Комментируют доказательство по плану:

1) назвать равные элементы треугольников, дать объяснение,

2) назвать равные элементы треугольников, дать объяснение,

3) назвать равные элементы треугольников, дать объяснение,

Называют признак равенства треугольников, формулировку (полную или ключевые слова признака «по двум сторонам и углу между ними», «по стороне и двум прилежащим к ней углам», «по трем сторонам»).

3. Практические задания.

Тренажер-игра «Купи треугольники».

Электронные тесты (1 и 2 варианты) – листы 2,3,4;

кроссворд на листе 5, игровая программа.

Дети занимают места за компьютерами, работают в микрогруппах.

Инструкция к тесту (1 и 2 варианты)

Чтобы открыть результаты теста, на Листе 3 в ячейку А1 введите пароль 12, нажмите клавишу Enter.

Пароль можно изменить. На Листе 5 в ячейку А1 введите новый пароль. По умолчанию пароль число 12

Чтобы работали макросы в программе Excel, зайдите в главное меню Сервис-Макрос-Безопасность. В диалоговом окне «Безопасность» на вкладке «Уровень безопасности» выберите средний уровень безопасности.

Сегодня мы провели виртуальную экскурсию по страницам сайтов Internet. Приглашаю вас посещать школьную Интернет-площадку. Вы можете найти много интересных материалов, подготовить необычный классный час или проект, реферат для урока или просто попутешествовать. Сегодня мы использовали материалы с разных сайтов, например, Википедия, Невозможные объекты.

А родителям я предлагаю покупать детям не только игровые программы, но и учебные программные продукты для дополнительных занятий.

Формирование экологической культуры младших школьников во внеклассной работе по курсу «Окружающий мир»

Карточки-задания для контрольной работы по геометрии на тему «Признаки равенства треугольников», 7 класс

В данной карточке подобраны задания для проведения контрольной работы по геометрии в седьмом классе на тему «Признаки равенства треугольников» . Контрольная работа состоит из двух вариантов. Карточки предназначены для классов, обучающихся по учебнику «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С. Данная работа может быть использована для проверки знаний учащихся по теме «Признаки равенства треугольников».

Контрольная работа № 2 Г ­ 7 по теме «Признаки равенства треугольников» 1 вариант 1. А С На рисунке О – общая середина отрезков АК и ВС. Доказать: А = К. ∟ ∟ О В К 2. У равнобедренного треугольника периметр равен 38 см, основание больше боковой стороны на 5 см. Найти все стороны треугольника. 3. В равнобедренном треугольнике МКЕ на основании МЕ отмечены точки Д и N так, что МД = ЕN и ДN = ДК. Доказать: ∆ ДКN – равносторонний. 2 вариант 1. С На рисунке ЕА – биссектриса СЕВ, ЕС = ЕВ. Доказать: С = В. ∟ ∟ ∟ А Е В 2. В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой стороны на 4 см, периметр треугольника равен 29 см.Найти стороны треугольника.3. В равнобедренном треугольнике АВС проведена медиана ВД. На боковой стороне отмечены точки К и М так, что АК = СМ. Доказать: ∆КМД – равнобедренный. Контрольная работа № 2 Г ­ 7 по теме «Признаки равенства треугольников» 1 вариант 1. А С На рисунке О – общая середина отрезков АК и ВС. Доказать: А = К. ∟ ∟ О В К 2. У равнобедренного треугольника периметр равен 38 см, основание больше боковой стороны на 5 см. Найти все стороны треугольника. 3. В равнобедренном треугольнике МКЕ на основании МЕ отмечены точки Д и N так, что МД = ЕN и ДN = ДК. Доказать: ∆ ДКN – равносторонний. 2 вариант 1. С На рисунке ЕА – биссектриса СЕВ, ЕС = ЕВ. Доказать: С = В. ∟ ∟ ∟ А Е В 2. В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой стороны на 4 см, периметр треугольника равен 29 см.Найти стороны треугольника.3. В равнобедренном треугольнике АВС проведена медиана ВД. На боковой стороне отмечены точки К и М так, что АК = СМ. Доказать: ∆КМД – равнобедренный.

Тест по теме «Признаки равенства треугольников»

в) если две стороны и периметр одного треугольника соответственно равны двум сторонам и периметру другого треугольника, то такие треугольники равны.

6. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если…

а) АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, А = А₁;

б) АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, С = С₁;

в) А = А₁, В = В₁, С = С₁.

7. В треугольниках АВС и MKN АВ = MK, ВС = NK, В = K.

В треугольниках проведены медианы (см. рис.).

8. Для данного четырехугольника неверно, что…

а) АВ = ВС;

б) АВ = DC;

в) А = С.

9. Для данного четырехугольника верно, что…

а) АО = ОС;

б) АС = ВD;

в) АС  BD.

1. ∆ МКР = ∆ М₁К₁Р₁, М = М₁, К₁Р₁ = 5 см.

2. ∆ АВС = ∆ MFK, В = М.

Тогда разность АС – FK равна…

3. Отрезки KP и EF пересекаются в точке М так, что KM = MP и EM = MF. PF = 12 см.

4. Медиана АМ треугольника АВС перпендикулярна стороне ВС. ВАС = 40°.

5. В четырехугольнике АВСD 1 = 2, 3 = 4. ВD = 5 см.

Периметр четырехугольника равен 32 см. Тогда периметр треугольника АВD равен…

6. Точка О делит пополам диагональ…

Вариант №2

1. Для доказательства равенства треугольников АВС и КМР достаточно доказать, что…

а) ВС = МР;

б) ВС = РК;

в) МК = ВС.

2. Для доказательства равенства треугольников АВС и РEК достаточно доказать, что…

а) С = Е;

б) С = К;

в) С = Р.

3. Из равенства треугольников АРК и MFN следует, что…

а) АК = MF;

б) AK = MN;

в) A = M.

4. Чтобы доказать равенство двух равнобедренных треугольников, достаточно доказать равенство…

б) боковых сторон;

в) оснований и боковых сторон.

5. Какое высказывание неверное?

а) Если периметры равносторонних треугольников равны, то равны и треугольники.

б) Если периметры равнобедренных треугольников равны, то равны и треугольники.

в) Периметры равных равнобедренных треугольников равны.

6. Δ АВС = Δ А₁В₁С₁, если…

а) АС = А₁С₁, В = В₁, С = С₁;

б) АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, С = С₁;

в) А = А₁, В = В₁, С = С₁.

7. В треугольниках АВС и MNP MP = AC, M = A, P = C.

В треугольниках проведены биссектрисы (см. рис.).

8. Для данного четырехугольника неверно, что…

а) АВ = ВС;

б) АВ = DC;

в) В = D.

9. Для данного четырехугольника верно, что…

а) АО = ОС;

б) BD  AC;

в) А = С.

1. ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁, ВС = В₁С₁, A = 35°.

2. ∆ АВС = ∆ MFK, А = М.

Тогда отношение равно…

3. Отрезки AD и BC пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ.

CDO = 34°. Тогда ВАО = …

4. Биссектриса AD треугольника АВС перпендикулярна стороне ВС. ВС = 7,2 см.

5. В четырехугольнике MNPQ 1 = 2, 3 = 4. NQ = 9 см.

Периметр четырехугольника равен 28 см. Тогда периметр треугольника MNQ равен…