Контрольная работа номер1 решение

— Первоначальная стоимость – 850 тыс. руб.

Контрольные работы по теории вероятности

Предметом изучения теории вероятностей являются случайные события и их вероятности. Под случайным событием подразумевается набор исходов некоторого эксперимента.

Теория вероятностей

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления.

Контрольные работы на тему: Элементы комбинаторики

Правило произведения. Если элемент строки можно выбрать способами и после каждого такого выбора элемент можно выбрать способами, и после выбора и элемент можно выбрать способами и т. д, наконец, независимо от выбора всех предыдущих элементов можно выбрать способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки равно;

Контрольная работа №1

Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо — 4, а третье блюдо — 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Решение:

При решении данной задачи применим правило произведения (комбинаторика) и учтем, что Строка состоит из трех элементов. Первое блюдо (первый элемент строки) можно выбрать пятью различными способами, второе — четырьмя различными способами независимо от выбора первого. Таким образом, первые два блюда можно выбрать 5-4 различными комбинациями. Учитывая выбор третьего блюда, окончательно получим:

Правило суммы. Пусть множество содержит элемент, множество элементов, и множество элементов. И если эти множества попарно не пересекаются (нет одинаковых элементов), то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:

Перестановки. Пусть — произвольное (неупорядоченное) -элементное множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов и называются перестановками из элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом и находится по формуле:

Контрольная работа №2

Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за Столом, Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами

Решение:

При решении данной задачи, учитывая, что за столом всегда сидят все 5 гостей, применим правило перестановки.

Размещения* Различные упорядоченные -элементные подмножества данного неупорядоченного множества называются размещениями из элементов по . Число таких размещений обозначается и вычисляется по формуле:

Контрольная работа №3

Десять участников финала разыгрываю! одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

Решение:

Согласно условию данной задачи награды получат только три финалиста из десяти» а ценность медалей различна, т. с. порядок призеров имеет значение. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило размещений:

Сочетания, Различные неупорядоченные -элементные подмножества множества называются сочетаниями из элементов по . Число всех таких сочетаний обозначается символом и определяется по формуле:

Можно доказать справедливость следующих формул:

Контрольная работа №4

В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов, Три спортсмена» показавшие лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?

Решение:

По условию задачи в финал войдут только три спортсмена из десяти, причем место в призовой тройке не имеет значения. Тогда для определения числа комбинаций призеров применим правило сочетаний:

Размещения из элементов по представляют собой такие -элементные выборки из неупорядоченного множества которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Сочетания же из элементов по представляет собой -элементные выборки, отличающиеся только самими элементами.

Размещения с повторениями. Любая строка длиной , составленная из элементов множества причем элементы в строке могут повторяться, называется размещением с повторением из элементов по .

Число всех размещений с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

Контрольная работа №5

Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

Решение:

Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10-элементного массива цифр, т. е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4, Следовательно, общее число таких элементов равно Исключим из выборки номер 00-00, если он недопустим. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется числом способов. Т. к. номер каждой машины есть упорядоченная «пара», состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно;

Сочетания с повторениями. Рассмотрим сочетания из элементов но и предположим, что в комбинации возможны повторения. В этом случае выбор элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из элементов, но и еще до раза одного из этих элементов. В этом случае общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до элементов. Следовательно, число сочетаний из элементов по с повторениями определяется по формуле

Контрольная работа №6

В цветочном киоске продается 10 наименований цветов. Покупатель желает приобрести букет из 5 цветов. Сколько существует комбинаций таких букетов?

Решение:

Очевидно, что цветы одного наименования могут повторяться в букете, и так как порядок цветов в букете не имеет значения, то здесь применима формула числа сочетаний с повторениями:

Перестановки с повторениями. Рассмотрим перестановки, содержащие одинаковые элементы. Например, в перестановках из элементов имеются различных элементов . При этом первый элемент встречается раз. Это означает, что общее число перестановок должно быть уменьшено в ! раз, гак как взаимные перестановки одного и того же элемента равнозначны.

Аналогично происходит и с остальными элементами, которые могут встречаться раз, причем . Поэтому общее число перестановок с повторениями подсчитывается по формуле

Контрольная работа №7

Имеется шестизначная кодовая комбинация, состоящая из трех цифр 1, 3, 5, в которой цифра I встречается один раз, цифра 3 два раза и цифра 5 — три раза. Сколько существует комбинаций таких наборов?

Решение:

В данном случае имеют место перестановки с повторениями, Их число будет равно

Контрольные работы на тему: Пространство элементарных событий. Случайные события

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

— появился герб при бросании монеты;

— появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

— попадание в цель при выстреле;

— появление туза при извлечении карты из колоды и т. д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Причем для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события — достоверное событие — , которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие — , которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события из введем противоположное событие , которое состоит в том, что событие не произошло.

Событие , заключающееся в том, что из двух событий

и происходит по крайней мере одно (либо , либо , либо и вместе), называется суммой (или объединением) событий и В.

Событие , заключающееся в том, что события и происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий и .

Событие называется разностью событий и ; оно заключается в том, что происходит и не происходит .

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

• — коммутативность сложения;
• — ассоциативность сложения;
• — коммутативность умножения;
• — ассоциативность умножения;
• — законы дистрибутивности.

Предположим* что среди всех возможных событий , которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, или элементарных исходов, обладающих следующими свойствами:

• во-первых, все они взаимоисключают друг друга, г. е. являются непересекающимися;
• во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;
• в-третьих, каково бы ни было событие , по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой а их совокупность называется пространством элементарных событии.

Достоверное событие , наступающее в результате любого из элементарных исходов , при таком отождествлении событий множеством совпадает с пространством: .

Невозможное событие , не наступающее ни при каком элементарном исходе совпадает с пустым множеством и обозначается .

Теперь можно указать дополнительные свойства операций над событиям и:

Два события и несовместимы (или несовместны), если (т. е. событие невозможно).

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и т. е. из этих событий происходит одно и только одно.

Контрольная работа №8

Победитель соревнования награждается: призом (событие ), денежной премией (событие ), медалью (событие ), Что представляют собой события:

Решение:

а) событие состоит в том, что победитель награжден призом или премией, или призом и премией одновременно;

б) событие состоит в том, что победитель награжден призом, премией и медалью одновременно;

в) событие состоит в награждении победителя призом и медалью одновременно, без выдачи премии.

Для наглядной иллюстрации алгебры событий воспользуемся диаграммами Эйлера- Венна.

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий .

Контрольная работа №9

Описать пространство элементарных событий следующего опыта — брошены две игральные кости.

Решение:

Очевидно, элементарным исходом данного опыта можно считать пару чисел где — число очков на первой кости, — число очков на второй кости. Известно, что , причем количество очков на первой кости не зависит от того, сколько очков выпадет на второй кости и наоборот. Отсюда получим:

Контрольные работы на тему: Статистическое определение вероятности

Испытанием называется эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходам. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один..

Если событие может привести к различным равновозможным исходам и если в случаях появится признак , то относительная частота (частость) события обозначается и равна отношению к :

Это так называемое статистическое (комбинаторное) определение вероятности. Событие , для которого относительная частота при достаточно больших мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события называется число , около которого группируются относительные частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

Вероятности обладают свойствами, аналогичными свойствам частости:

• Статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

• Статистическая вероятность невозможного события равна нулю:

• Статистическая вероятность достоверного события равна единице:

При подбрасывании идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна = 0,5. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Контрольная работа №10

Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько в среднем надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

Решение:

Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частость (относительная частота) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что . Отсюда . В нашем случае , тогда .

Контрольные работы на тему: Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов: . Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной . Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в следующих экспериментах:

Бросание люнеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков:

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до ).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, бросание шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; во-вторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, всс эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события может быть вычислена по следующей формуле;

где — общее число равно возможных и взаимно исключающих друг друга исходов, — число тех из них, которые приводят к наступлению события .

Контрольная работа №11

Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

Решение:

Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу сочетаний и вычисляется по формуле:

В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2:

Контрольная работа №12

Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая даму. При объявлении ранга игры участнику приходится учитывать возможность образования у одного из вистующих — противников — комбинации из трех оставшихся червей. Какова вероятность этого события?

Решение:

У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равно

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочетаний из 17 оставшихся карт по 7:

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих очевидно в 2 раза больше.

Контрольная работа №13

В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

Решение:

Введем следующие обозначения: — общее число машинок, — число бездефектных машинок, — число отобранных в партию (подмножество) машинок, — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по машинок равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из элементов по , т. е. .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по т.е. Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика — правило произведения) . Согласно (1.12), окончательно получим:

Подставим в формулу (1.13) численные значения и окончательно получим:

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Контрольные работы на тему: Аксиоматическое построение теории вероятностей и геометрическое определение вероятности

Приведенные выше классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике.

Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым.

При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное событие, а просто элементарное событие любой природы. Множество таких событий образует поле элементарных событий. Из подмножества данного множества составляются некоторые ансамбли, которые и носят название случайного события. Множество таких событий образует поле событий . На Этом поле случайных событий вводится числовая функция, называемая вероятностью и определяемая следующими аксиомами.

Аксиома 1. Каждому случайному событию из поля событий поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью, такое, что

Аксиома 2, Вероятность достоверного события равна единице:

Аксиома 3. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть — пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда и не имеет общих элементов с . Следовательно:

Аксиоматический подход позволяет с более общих позиций подойти к построению теории вероятностей и преодолевает некоторые недостатки классического и статистического определений вероятности событий. Однако для большинства практических задач рассмотренные ранее определения вероятностей событий оказываются достаточно удобными и надежными, так что в дальнейшем будем опираться именно на них. В этом случае третья аксиома должна быть выражена на основе доказательной базы, что и будет сделано позднее.

Множество всех задач, возникающих при изучении случайных событий, к сожалению, не сводится только к рассмотренным выше определениям вероятности. Геометрическое определение вероятности применяется в тех случаях, когда множество всех исходов (возможных и благоприятных) бесконечно и эти исходы определяются одним или несколькими числовыми параметрами.

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области:

Рассмотрим несколько примеров подсчета геометрических вероятностей.

Контрольная работа №14

Предположим, что на отрезок длиной действительной прямой наугад бросается точка, которую обозначим . Какова вероятность того, что она отклонится не дальше чем на расстояние от сере-дины указанного отрезка (см. рис.)?

Решение:

Здесь имеется бесконечное множество возможных исходов: ведь точка может попасть в любую точку рассматриваемого отрезка длиной . Кроме того, условия опыта таковы, что с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке этого отрезка, расположенного на оси абсцисс. Событие : точка находится от середины отрезка на расстоянии не больше , наступает в результате попадания в любую точку , отстающую от середины не далее, чем на величину . «Доля» таких точек на всем отрезке может быть определена как отношение , где — длина всего рассматриваемого отрезка. длина отрезка, попадание в который влечет за собой наступление события . Таким образом, искомая вероятность равна:

Контрольная работа №15

Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1, 1J больше нуля, а их произведение отрицательно.

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, построим следующую модель. Координаты первого числа отложим на отрезке [-1, 1] оси абсцисс, а другое число отложим на отрезке [-1, 1] оси ординат. Множество всех возможных значений двух чисел лежит в квадрате (см. рис,). Множество чисел, произведение которых отрицательно, а сумма положительная, расположено во втором и четвертом квадранте выше прямой (см, рис,).

Таким образом, интересующая нас вероятность равна отношению площади фигуры (заштрихована) к площади квадрата;

Контрольная работа №16

Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству:

Решение:

Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2J пары чисел и . Будем интерпретировать это как выбор наудачу точки из множества всех точек квадрата со стороной, равной двум. Построим фигуру, представляющую все точки квадрата, удовлетворяющие неравенству (I), которое для простоты представим э квивалентной системой:

Очевидно, что событие произойдет тогда и только тогда, когда точка попадет в заштрихованную область. Тогда по формуле искомая вероятность равна:

Контрольные работы на тему: Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию благоприятствуют , элементарных исходов, а событию исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию благоприятствуют элементарных исходов из общего числа исходов. Следовательно,

где и — соответственно вероятности событий и .

Следствие 1. Если события образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Это следствие очевидно, если вспомнить, что события составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма — событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1.

Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу и .

Примеры противоположных событий:

— попадание при выстреле; — промах при выстреле.

— при бросании кубика выпала шестерка; — при бросании кубика шестерка не выпала.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Контрольная работа №17

Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины:

Решение:

Так как выделение одновременно двух машин — невозможное событие, то по формуле (2.1) вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

Контрольная работа №18

В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов — выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов — выигрыши по 5 рублей, остальные билеты — невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение:

Обозначим события: — выигрыш не менее 20 рублей, — выигрыш 20 рублей, — выигрыш 100 рублей, — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события попарно несовместны, причем справедливо выражение:

По теореме сложения вероятностей:

Контрольные работы на тему: Теорема сложения вероятностей совместных событий

Как было указано выше, теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда два события и совместны. справедлива следующая теорема.

Теорема, Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий <2.1) имеем:

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: . Вновь применяя терему (2.1), получим , откуда

Аналогично для события :

Подставив (2.6) и (2.7) в (2.5), получим выражение (2.4), теорема доказана.

Как несложно заметить, формула (2.1) является частным случаем выражения (2.4), Действительно, если события несовместны, то их произведение — пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.

Аналогично выражению (2.4) запишем вероятность суммы трех совместных событий:

Справедливость формул (2.4) и (2.8) наглядно иллюстрируется рисунками:

Из выражения (2.4) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Действительно:

Контрольная работа №19

Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение:

Обозначим события: — появление шестерки на первой кости, — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т. е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.

а) Для вычислений воспользуемся формулой (2.4). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т. е, вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а число всех равновозможных комбинаций вычислим по правилу произведения (комбинаторика);

b) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:

Контрольные работы на тему: Независимость событий

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем одно важное понятие — понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Контрольная работа №20

Подбрасываются 2 монеты. Рассмотрим события:

— появления герба на первой монете; — появление герба на второй монете.

Решение:

Очевидно, событие не зависит от того, произошло событие или нет. Событие независимо от события .

Контрольная работа №21

В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Рассмотрим события:

— появление белого шара у первого человека,

— появление белого шара у второго человека.

Решение:

Вероятность события равна 2/3. Если стало известно, что событие произошло, то в урне осталось два шара, из которых только один белый. Тогда вероятность события становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие зависит от события .

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается:

Теперь условие зависимости или независимости событий можно выразить математически. Если соотношение

верно, то события и называются независимыми.

Если верно выражение

то события и называются зависимыми.

Рассмотрим еще раз ПРИМЕР 5, это так называемая «урновая схема». В урне (закрытой емкости) находится белых и черных шаров. Два человека поочередно вынимают по одному шару из урны, Если реализуется схема без возвращения, то события — зависимые. Если реализуется схема с возвращением, после каждого опыта шар возвращается в урну, то события — независимые.

Контрольные работы на тему: Теорема умножения вероятностей

Теорема, Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Доказательство. Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет условная вероятность события относительно события равна .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, то есть к исходов. Поэтому вероятность произведения событий и равна . Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим

Аналогично можно показать, что

Следствие I. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Согласно условию, событие не зависит от события . тогда с учетом (2.10) получим . Подставим это уравнение в формулу (2.12):

Разделив левую и правую часть уравнения на , получим

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

Контрольная работа №22

Прибор, работающий в течение времени , состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение времени отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время вероятность безотказной работы узлов соответственно равна:

Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время ?

Решение:

— безотказная работа прибора;

— безотказная работа первого узла;

— безотказная работа второго узла;

— безотказная работа третьего узла.

Безотказная работа прибора обсепечивается независимой и безотказной работой каждого из трех узлов:

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Контрольная работа №23

Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, ссли он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?

Решение:

Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие — «в первый раз вынут «неудачный» билет», — во второй раз вынут «удачный» билет». Очевидно, что события и зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события . По формуле умножения вероятностей:

Контрольные работы на тему: Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти или не произойти вместе с одним из событий: образующих полную группу несовместных событий, то есть

Будем эти события называть гипотезами. В этом случае сформулируем формулу (теорему) полной вероятности.

Теорема, Вероятность события равна сумме произведений вероятности гипотезы на соответствующую условную вероятность этого события :