Контрольная работа по геометрии на тему: Определение и признаки подобия треугольников (8 класс)
б) угол А = 37°, угол В = 48°, угол = 95°, угол = 48°?
Признаки подобия треугольников
Напомним для начала определение подобных треугольников.
Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.
Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.
Первый признак подобия треугольников
Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$. (рис. 1).
Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1
Нам нужно доказать, что $\angle C=\angle C_1,$ и что $\frac=\frac_1>=\frac$.
По теореме о сумме углов треугольника, имеем:
Далее будем пользоваться следующей теоремой:
Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.
По теореме 0, получим
Из этих равенств, получим
Второй признак подобия треугольников
Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.
Готовые работы на аналогичную тему
Доказательство.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\angle A=\angle A_1$ и$\frac=\frac=k$ (рис. 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2
Используя теорему 1, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle C=\angle C_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 2).
Рисунок 3. Дополнительное построение
Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac$ $=\frac$. По условию $\frac=\frac$, следовательно, $AB=AB_2$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $\angle B_2CA=\angle C$, а так как $\angle B_2CA=\angle C_1,\ то\ \angle C=\angle C_1.$
По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.
Третий признак подобия треугольников
Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\frac=\frac_1>=\frac=k$.
Используя теорему 2, видим, что для доказательства этой теоремы, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1$. Построим треугольник $ACB_2$, так, что $\angle CAB_2=\angle A_1$, а $\angle B_2CA=\angle C_1$ (рис. 3).
Рисунок 4. Дополнительное построение
Треугольник $ACB_2$ подобен треугольнику $ABC$ (по теореме 1), следовательно,$\ \frac$ $=\frac=\frac$. Принимая во внимание равенства$\frac=\frac_1>=\frac$, получим, что $CB_2=CB,\ AB_2=AB$. Тогда треугольник $ACB_2$ равен треугольнику $ABC$ по трем сторонам. Следовательно, $\angle A=\angle A_1$.
Пример задачи на использование признаков подобия
Доказать, что любые два равнобедренных треугольника, у которых углы между равными сторонами равны, являются подобными.
Решение.
Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то
Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то
То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По теореме 1, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.