9 класс. Контрольная работа № 3. Скалярное произведение векторов. методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему

Способствовать формированию умений анализировать и систематизировать информацию.

Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b .

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b , если их длины | a | = 3, | b | = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3 b и q = 5 a — 3 b , если их длины | a | = 3, | b | = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

p · q = ( a + 3 b ) · (5 a — 3 b ) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 | a | 2 + 12 a · b — 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j :

a = i + 2 j
b = 4 i — 8 j

Тогда используя свойства ортов ( i 2 = 1, j 2 = 1, i · j = 0)

( a + 2 i )·( b — 2 j ) = ( i + 2 j + 2 i )·(4 i — 8 j — 2 j ) = (3 i + 2 j )·(4 i — 10 j ) = 12 i 2 — 30 i · j + 12 j · i — 20 j 2 = 12 — 0 + 0 — 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.