Вычисление пределов — контрольная работа
Например: 1) при б. м. ф. т.к. 2) при б. м. ф. т. к
Разбор заданий контрольной работы № 3
Тема 6. Предел последовательности. Предел функции, непрерывность функции.
Задача 1. а) Вычислить предел числовой последовательности
Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, поэтому дробь необходимо преобразовать. Сначала используем формулы сокращенного умножения
Для того, чтобы избавиться от неопределенности поделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, т.е. на . Получим, .
б) Вычислить предел числовой последовательности .
Решение. Для того, чтобы раскрыть неопределенность преобразуем общий член последовательности умножив и поделив его на выражение, сопряженное выражению в скобках
Поделив числитель и знаменатель на старшую степень неизвестного, получим .
в) Вычислить предел числовой последовательности .
Решение. По определению число . Преобразуем дробь и получим
Задача 2.
1) Вычислить предел функции .
Решение.Используя основные теоремы о пределах видим, что и . Таким образом выражение представляет неопределенность при . Чтобы раскрыть эту неопределенность числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя корни многочленов. Уравнение имеет корни . Уравнение имеет корни . Тогда .
2) Вычислить предел функции .
Решение. Так как числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при неограниченном возрастании аргумента, то выражение представляет неопределенность . раскроем эту неопределенность поделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменного т.е. на . Получим .
3) Вычислить предел функции .
Решение. Также как в предыдущем случае, неопределенность и раскрываем ее аналогично. .
4) Вычислить предел функции .
Решение. Выражение представляет неопределенность при .для того, чтобы раскрыть эту неопределенность преобразуем дробь умножив сначала числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю
. Затем аналогично умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное числителю исходной дроби
. Выполнив преобразования, вычислим предел, используя основные теоремы о пределах .
5) Вычислить предел функции .
Решение. Убедимся, что выражение представляет неопределенность вида . Действительно , а . Преобразуем основание степени , тогда вся степень может быть преобразована следующим образом . Продолжим вычисление предела, используя свойство непрерывности функции . .
5) Вычислить предел функции .
Решение.Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин при . Тогда .
Задача 3. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график .
Решение.На интервалах функция непрерывна, поэтому исследовать ее на непрерывность нужно в точках . Вычислим значения функции и ее односторонние пределы в данных точках.
а) В точке , , . Односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в данной точке, значит функция в точке непрерывна.
б) В точке , , . Односторонние пределы конечны, но не равны между собой, значит, функция в точке имеет конечный разрыв (разрыв первого рода).
Познавательно:
Основные показатели разработки ТЕХНОЛОГИЯ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ РАЗРАБОТКИ Выбор системы разработки по основным.
Единицы языка. Уровни языковой системы Единицы языка — это элементы системы языка, имеющие разные функции и значения.
Понятие признаки и виды множественности преступлений Множественность преступлений — это ситуация, когда одно и то же лицо последовательно или одним действием (бездействием).
Гарантии и компенсации в сфере труда: понятие, виды и случаи их предоставления ГАРАНТИИ И КОМПЕНСАЦИИ Статья 164. Понятие гарантий и компенсаций Гарантии — средства.
Глава 4. «Мустанг» Годы пребывания на посту генерального управляющего отделения «Форд» были самым счастливым периодом моей жизни.