Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс

5. Докажите, что значение выражения

Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс

Проверить по определению, будет ли число 2 корнем многочлена:

а) f ( x ) = x 5 – 4 x 4 + 7 x 3 – 24;

б) f ( x ) = 5 x 5 + 4 x 3 — 7 x 2 + 2.

Решение:

Подставляя вместо переменной число 2, имеем:

а) f ( x ) = 2 5 – 4·2 4 + 7·2 3 – 24 = 32 – 64 + 56 – 24 = 0. Следовательно, 2 – корень многочлена.

б) f ( x ) = 5·2 5 + 4·2 3 — 7·2 2 + 2 = 160 + 32 – 28 + 2 = 166  0. Следовательно, 2 – не является корнем многочлена.

Задача 2.

При помощи схемы Горнера проверить, является ли число с корнем многочлена f ( x ) = 4 x 6 – x 5 – 6 x 4 + 3 x 3 + 50 x – 68:

Решение:

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степени, равной 2 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

3·806–68 = 2350  0

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на ( х – 3)), делаем вывод, что число 3 корнем многочлена не является.

По следствию из теоремы Безу – многочлен делится нацело на ( х – (-2)) = ( х + 2) – делаем вывод о том, что число -2 является корнем многочлена.

Задача 3.

Какова кратность корня х = -1 многочлена f ( x ) = x 5 + 4 x 4 + 5 x 3 + x 2 – 2 x – 1 ?

Решение:

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя ( х – (-1)) = ( х + 1) и представим в виде f ( x )= (х + 1) 3 (х 2 + х – 1) , где коэффициенты многочлена х 2 + х – 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность корня равна трем.

Задача 4.

Отделить кратные корни многочлена f ( x ) = x 5 – 2 x 4 – x 3 + 5 x 2 – 4 x + 1.

Решение:

Если многочлен имеет корень кратности k , то его производная имеет этот же корень кратности ( k – 1). Найдем производную данного многочлена:

f / ( x ) = 5 x 4 – 8 x 3 – 3 x 2 + 10 x – 4

Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по алгоритму Евклида:

( f ( x ), f / ( x ) ) = x 2 — 2 x + 1 . Заметим, что это полный квадрат ( x – 1) 2 , следовательно, f / ( x ) содержит корень 1 кратности 2, а f ( x ) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.

Разделим f ( x ) на ( x – 1) 3 по схеме Горнера:

Получим f ( x ) = ( x – 1) 3 (х 2 + х – 1). Остальные 2 корня многочлена – простые (в этом случае действительные иррациональные числа).

Ответ: f ( x ) = ( x – 1) 3 (х 2 + х – 1).

Задача 5.

Разложить многочлен f ( x ) = x 6 + x 5 – 4 x 4 – 2 x 3 + 5 x 2 + x – 2 в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.

Решение:

f / ( x ) = 6 x 5 + 5 x 4 – 16 x 3 – 6 x 2 + 10 x + 1

( f ( x ), f / ( x ) ) = x 3 – x 2 – x + 1

Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f // ( x ):

f // (x) = 30x 4 + 20x 3 – 48x 2 – 12x + 10

( f / (x), f // (x) ) = x – 1 . Следовательно, в f // ( x ) ) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в f / ( x ) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на ( x – 1) 2 = (х 2 – 2х + 1). Получим: f / ( x ) = ( x – 1) 2 (х + 1) . Т.е. в f / ( x ) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f ( x ) он входит с кратностью 3. В f / ( x ) корень равный –1 входит с кратностью 1, значит в f ( x ) он входит с кратностью 2. Т.к. f ( x ) – многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности – 2 и 3, то у f ( x ) есть еще один корень, который является простым.

Разделим f ( x ) на ( x – 1) 3 и на ( x + 1) 2 по схеме Горнера:

Получим: f ( x ) = ( x – 1) 3 ( x + 1) 2 (х + 2)

Ответ: f ( x ) = ( x – 1) 3 ( x + 1) 2 (х + 2)

Задача 6.

При помощи кратных корней, найти точку (точки) х , в которых график функции f ( x )= х 6 – 4х 5 – 2х 4 + 16х 3 + 5х 2 – 20х – 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.

Решение: f ( x )= х 6 – 4х 5 – 2х 4 + 16х 3 + 5х 2 – 20х – 12 .

Найдем производную многочлена: f / ( x )= 6х 5 – 20х 4 – 8х 3 + 48х 2 + 10х – 20 .

НОД ( f ( x ), f / ( x ) ) = х 3 – 3х – 2 .

Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем: f // ( x ) ) = 30х 4 – 80х 3 – 24х 2 + 96х + 10 .

НОД ( f / ( x ), f // ( x ) ) = х + 1 . Таким образом: f // ( x ) ) = (х +1) q 1 ( x ) , следовательно: f / ( x ) = (х +1) 2 q 2 ( x ) , разделив f / ( x ) на (х +1) 2 , получим f / ( x ) = (х +1) 2 ( x – 2) .

Следовательно, f ( x ) = (х +1) 3 ( x – 2) 2 q 3 ( x ) . Разделив f ( x ) на (х +1) 3 ( x – 2) 2 получим f ( x ) = (х +1) 3 ( x – 2) 2 ( x – 3) .

Таким образом, имеем х = -1 – трехкратный корень многочлена, х = 2 – двукратный корень, х = 3 – простой корень. Следовательно, в точке х = 1 график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень).

Ответ : х = 2 .

Индивидуальные задания

Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f ( x ) :

f ( x ) = x 3 – 4 x 2 + 7 x + 1470, с = -10 ;

Решение:

Подставляя вместо переменной число -10, имеем:

f ( x ) = (-10) 3 – 4•(-10) 2 + 7•(-10) + 1470=-1000-400-70+1470=0

Следовательно, -10 – корень многочлена.

I. Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f ( x ) :

f ( x ) = x 5 – 7 x 3 – 4, с = 4 ;

Решение:

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на ( х – 4)), делаем вывод, что число 4 корнем многочлена не является .

II. Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера, будет ли множитель х – с входить в разложение многочлена f ( x ) :

f ( x ) = x 5 – 4 x 4 + 7 x 2 – 4, х – 2 ;

Решение:

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на ( х – 2)), (число 2 корнем многочлена не является) , следовательно х-2 не входит в разложение многочлена f ( x )

Проверим с помощью деления углом:

III. Определить по схеме Горнера, какова кратность корня с = -1 для многочлена f ( x ) :

f ( x ) = x 4 – 2 x 3 – 12х 2 – 14х – 5 ;

Решение:

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя ( х – (-1)) = ( х + 1) и представим в виде f ( x )= (х + 1) 3 ( х – 5) , где коэффициенты многочлена х – 5 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность корня равна трем.

IV. Определить по схеме Горнера, какова кратность множителя х + 1 для многочлена f ( x ) :

f ( x ) = x 4 + 8 x 3 + 18х 2 + 16х + 5 ;

Решение:

Задача решается аналогично предыдущей.

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя ( х + 1) и представим в виде f ( x )= (х + 1) 3 (х +5) , где коэффициенты многочлена взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность множителя х + 1 равна трем.

V. Разложить многочлен в произведение линейных множителей, отделив кратные корни многочлена:

f ( x ) = x 4 – x 3 – 9х 2 – 11х – 4 ;

Решение:

f / ( x ) = 4 x 3 – 3 x 2 — 18 x – 11

НОД ( f ( x ), f / ( x ) ) = x 2 + 2 x + 1=( x + 1) 2

Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f // ( x ):

f // ( x ) = 12 x 2 — 6 x – 18

( f / ( x ), f // ( x ) ) = x + 1 . Следовательно, в f // ( x ) ) имеется корень равный -1 кратности 1, значит в f / ( x ) этот корень входит с кратностью 2.

Разделим уголком f ( x ) на НОД ( f ( x ), f / ( x ) ) и получим

f ( x ) = x 4 – x 3 – 9х 2 – 11х – 4 = ( x + 1) 2 ( x 2 — 3 x – 4)= по Теореме Виета получим = =( x + 1) 2 ( x + 4)( x – 1)

Ответ: f ( x ) = ( x + 1) 2 ( x + 4)( x – 1)

Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс

Проверить по определению, будет ли число 2 корнем многочлена:

а) f(x) = x 5 — 4x 4 + 7x 3 — 24;

б) f(x) = 5x 5 + 4x 3 — 7x 2 + 2.

Подставляя вместо переменной число 2, имеем:

а) f(x) = 2 5 — 4·2 4 + 7·2 3 — 24 = 32 — 64 + 56 — 24 = 0. Следовательно, 2 — корень многочлена.

б) f(x) = 5·2 5 + 4·2 3 — 7·2 2 + 2 = 160 + 32 — 28 + 2 = 166  0. Следовательно, 2 — не является корнем многочлена.

При помощи схемы Горнера проверить, является ли число с корнем многочлена f(x) = 4x 6 — x 5 — 6x 4 + 3x 3 + 50x — 68:

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степени, равной 2 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

3·806-68 = 2350  0

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х — 3)), делаем вывод, что число 3 корнем многочлена не является.

По следствию из теоремы Безу — многочлен делится нацело на (х — (-2)) = (х + 2) — делаем вывод о том, что число -2 является корнем многочлена.

Какова кратность корня х = -1 многочлена f(x) = x 5 + 4x 4 + 5x 3 + x 2 — 2x — 1?

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х — (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1) 3 (х 2 + х — 1), где коэффициенты многочлена х 2 + х — 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность корня равна трем.

Отделить кратные корни многочлена f(x) = x 5 — 2x 4 — x 3 + 5 x 2 — 4x + 1.

Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот же корень кратности (k — 1). Найдем производную данного многочлена:

f / (x) = 5x 4 — 8x 3 — 3x 2 + 10x — 4

Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по алгоритму Евклида:

(f(x), f / (x)) = x 2 — 2x + 1. Заметим, что это полный квадрат (x — 1) 2 , следовательно, f / (x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.

Разделим f(x) на (x — 1) 3 по схеме Горнера:

Получим f(x) = (x — 1) 3 (х 2 + х — 1).Остальные 2 корня многочлена — простые (в этом случае действительные иррациональные числа).

Ответ: f(x) = (x — 1) 3 (х 2 + х — 1).

Разложить многочлен f(x) = x 6 + x 5 — 4x 4 — 2x 3 + 5x 2 + x — 2 в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.

f / (x) = 6x 5 + 5x 4 — 16x 3 — 6x 2 + 10x + 1

(f(x), f / (x)) = x 3 — x 2 — x + 1

Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f // (x):

f // (x) = 30x 4 + 20x 3 — 48x 2 — 12x + 10

( f / (x), f // (x)) = x — 1. Следовательно, в f // (x)) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в f / (x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на (x — 1) 2 = (х 2 — 2х + 1). Получим: f / (x) = (x — 1) 2 (х + 1). Т.е. в f / (x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит с кратностью 3. В f / (x) корень равный -1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он входит с кратностью 2. Т.к. f (x) — многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности — 2 и 3, то у f (x) есть еще один корень, который является простым.

Разделим f (x) на (x — 1) 3 и на (x + 1) 2 по схеме Горнера:

Получим: f (x) = (x — 1) 3 (x + 1) 2 (х + 2)

Ответ: f (x) = (x — 1) 3 (x + 1) 2 (х + 2)

При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции f(x)= х 6 — 4х 5 — 2х 4 + 16х 3 + 5х 2 — 20х — 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.

Решение: f(x)= х 6 — 4х 5 — 2х 4 + 16х 3 + 5х 2 — 20х — 12.

Найдем производную многочлена: f / (x)= 6х 5 — 20х 4 — 8х 3 + 48х 2 + 10х — 20.

НОД (f (x), f / (x)) = х 3 — 3х — 2.

Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем: f // (x)) = 30х 4 — 80х 3 — 24х 2 + 96х + 10.

НОД (f / (x), f // (x)) = х + 1. Таким образом: f // (x)) = (х +1)q₁(x), следовательно: f / (x) = (х +1) 2 q₂(x), разделив f / (x) на (х +1) 2 , получим f / (x) = (х +1) 2 (x — 2).

Следовательно, f (x) = (х +1) 3 (x — 2) 2 q₃(x). Разделив f (x) на (х +1) 3 (x — 2) 2 получим f (x) = (х +1) 3 (x — 2) 2 (x — 3).

Таким образом, имеем х = -1 — трехкратный корень многочлена, х = 2 — двукратный корень, х = 3 — простой корень. Следовательно, в точке х = 1 график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень).

Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f(x):

Подставляя вместо переменной число -10, имеем:

f(x) = (-10) 3 — 4•(-10) 2 + 7•(-10) + 1470=-1000-400-70+1470=0

Следовательно, -10 — корень многочлена.

I.Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f(x):

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х — 4)), делаем вывод, что число 4 корнем многочлена не является.

II.Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера, будет ли множитель х — с входить в разложение многочлена f(x):

В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.

По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х — 2)), (число 2 корнем многочлена не является), следовательно х-2 не входит в разложение многочлена f(x)

Проверим с помощью деления углом:

III. Определить по схеме Горнера, какова кратность корня с = -1 для многочлена f(x):

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х — (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1) 3 ( х — 5), где коэффициенты многочлена х — 5 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность корня равна трем.

IV. Определить по схеме Горнера, какова кратность множителя х + 1 для многочлена f(x):

Задача решается аналогично предыдущей.

Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:

Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1) 3 (х +5), где коэффициенты многочлена взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.

Ответ: кратность множителя х + 1 равна трем.

V.Разложить многочлен в произведение линейных множителей, отделив кратные корни многочлена:

f / (x) = 4x 3 — 3x 2 — 18x — 11

НОД (f(x), f / (x)) = x 2 + 2x + 1=(x + 1) 2

Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f // (x):

f // (x) = 12x 2 — 6x — 18

( f / (x), f // (x)) = x + 1. Следовательно, в f // (x)) имеется корень равный -1 кратности 1, значит в f / (x) этот корень входит с кратностью 2.

Разделим уголком f(x) на НОД (f(x), f / (x)) и получим

f(x) = x 4 — x 3 — 9х 2 — 11х — 4 = (x + 1) 2 (x 2 — 3x — 4)= по Теореме Виета получим = =(x + 1) 2 (x + 4)(x — 1)

Алгебра 7 Дорофеев КР-07

Алгебра 7 Дорофеев КР-07. Контрольная работа по алгебре «Многочлены». Цитаты из пособия «Алгебра. Контрольные работы 7 класс» (авт. Л.В. Кузнецова и др.), которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 7 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». Цитаты из пособия указаны в учебных целях. При постоянном использовании контрольных рекомендуем купить указанное пособие.

Многочлены

В контрольной работе проверяются умения:

• вычислять числовое значение многочлена с одной переменной;
• складывать и вычитать многочлены;
• представлять в виде многочлена произведение одночлена и многочлена, произведение двух многочленов;
• возводить двучлен в квадрат с помощью формул (а + b)2 = = а2 + 2ab + b2 и (а — b)2 = а2 — 2ab + b2;
• «сворачивать» трёхчлен в квадрат двучлена;
• решать линейные уравнения с применением правил действий с многочленами;
• решать текстовые задачи алгебраическим методом.

Контрольная работа по алгебре 7 класс. КР-07.

КР-07. Многочлены

Вариант 1

1 Найдите значение многочлена 1,5x 3 — 2,4х при х = -2.

2 Найдите сумму многочленов 8x 2 — х + 3 и -2x 2 + 4x — 5.

3 Представьте в виде многочлена: а) -4а 3 (а 2 — За + 2); б) (1 — х)(2у + x); в) (5с — 4) 2 .

4 Упростите выражение: а) За(а — b) + b(2а — b); б) (с — З) 2 — Зc(с — 2).

5 Представьте в виде квадрата двучлена выражение 9 + 12x + 4x 2 .

6 Решите уравнение: а) x 2 + 2 = х(4 + x); б) х — (2х + 5) = 2(3x — 6).

7 Решите задачу: «Имеются прямоугольник и квадрат. Одна из сторон прямоугольника равна стороне квадрата, а другая на 3 см меньше её. Известно, что площадь прямоугольника на 15 см 2 меньше площади квадрата. Чему равны стороны прямоугольника?»

8 Докажите, что (а + b) 2 — (а — b) 2 = 4аb.

9 Выделите квадрат двучлена в выражении x 2 — 10х + 10.

Дополнительное задание. *10. Найдите значение разности с — а, если известно, что а — b = З и b — с = 7.

Вариант 2

1 Найдите значение многочлена 0,5х 2 — 0,1х — 10 при х = -4.

2 Найдите разность многочленов х 3 + Зх — 2 и х 3 — х 2 + Зх.

3 Представьте в виде многочлена: а) -5а 3 (2а 2 -а — 3); б) (Зс — а)(2с — 5а); в) (Зх + 2 у) 2 .

4 Упростите выражение: а) 4а(3а + 2b) — b(10а — b); б) 2с(с — 3) + (2 — с) 2 ,

5 Представьте в виде квадрата двучлена выражение 4а 2 — 20ах + 25х 2 .

6 Решите уравнение: а) 7 + х(х — 1) = х 2 — 1; б) 3(2х — 4) = 2х — (5х + 9).

7 Решите задачу: «Имеются прямоугольник и квадрат. Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше стороны квадрата, а другая на 3 см меньше её. Известно, что эти четырёхугольники имеют равные площади. Чему равны стороны прямоугольника?»

8 Докажите, что (а + b) 2 -2b(а + b) = а 2 — b 2 .

9 Выделите квадрат двучлена в выражении а 2 + 2а.

Дополнительное задание. *10. Найдите значение произведения 2(х — z), если известно, что х — у = 10 и у – z = 3.

ОТВЕТЫ

Алгебра 7 Дорофеев КР-07. Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра. Контрольные работы 7 класс» (авт. Л.В. Кузнецова и др.), которое используется в комплекте с учебником «Алгебра 7 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». Цитаты из пособия указаны в учебных целях.

Алгебра 7 Дорофеев КР-07: 3 комментария

Ответы нужны срочно

Можно срочно ответы

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Предметы

Новые работы

• Мерзляк 9 класс Контрольная 1 В4
• Мерзляк 9 класс Контрольная 1 В3
• Мерзляк 9 класс Контрольная 1 В2
• Математика 6 Итоговая контрольная В4
• Математика 6 Итоговая контрольная В3
• Математика 6 Итоговая контрольная В2
• Мерзляк 6 класс Контрольная 12 В4
• Мерзляк 6 класс Контрольная 12 В3
• Мерзляк 6 класс Контрольная 12 В2
• Алгебра 7 Дорофеев КР-11 В3-В4

Найти контрольную:

Авторы работ и УМК

Предметы

Важные страницы

Соглашение о конфиденциальности

(с) 2020-2022. Дистанционный информационный Центр НПИ (г.Москва). Бесплатная помощь школьникам, находящимся на домашнем или семейном обучении. Цитаты из учебных пособий размещены в учебных целях. Контакты: kip1979@mail.ru

Популярное

• Математика 6 Контрольные Мерзляк
• Алгебра 7 Контрольные Макарычев
• Математика 5 Контрольные Мерзляк
• Алгебра 8 Контрольные Макарычев — Жохов
• Алгебра 7 Контрольные Мерзляк ДМ
• Алгебра 8 Макарычев Контрольная 1
• Алгебра 8 Контрольные Мерзляк ДМ
• Геометрия 8 Контрольные Мерзляк
• Геометрия 7 Контрольные Мерзляк
• КР-1 Алгебра 7 Макарычев ОТВЕТЫ

Предупреждение

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, пользовательских данных (сведения о местоположении; тип и версия ОС; тип и версия Браузера; тип устройства и разрешение его экрана; источник откуда пришел на сайт пользователь; с какого сайта или по какой рекламе; язык ОС и Браузера; какие страницы открывает и на какие кнопки нажимает пользователь; ip-адрес) в целях функционирования сайта, проведения ретаргетинга и проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.